线性代数（新工科版）

《线性代数 : 新工科版》内容主要包括线性方程组、线性变换与矩阵、相似矩阵与二次型理论。《线性代数 : 新工科版》以线性方程组与线性变换的矩阵表示为主线，以更符合学生认知规律的体系展开内容，力求阐述线性代数相关概念与定理产生的历史背景与科学动机，体现线性代数的本质；强调几何直观与代数方法的有机结合，使抽象概念、理论可视化；并适当拓展线性代数在现代科技、工程、经济等领域的广泛应用，以适应新工科建设对数学知识、方法、思维和能力提出的新要求。

目录
前言
第1章 线性方程组 1
1.1 线性方程组的概念与矩阵 1
习题1.1 6
1.2 消元法解线性方程组 7
习题1.2 15
1.3 向量空间 16
习题1.3 22
1.4 线性表示 22
习题1.4 28
1.5 向量组的线性相关性 29
习题1.5 35
1.6 向量组的极大无关组与秩 35
习题1.6 40
1.7 基、维数与坐标 41
习题1.7 45
1.8 线性方程组解的结构 45
习题1.8 57
1.9 正交性 59
习题1.9 69
1.10 *小二乘法 70
习题1.10 74
复习题一 74
第2章 线性变换与矩阵 82
2.1 线性变换 82
习题2.1 89
2.2 线性变换的矩阵表示 89
习题2.2 96
2.3 分块矩阵 97
习题2.3 100
2.4 行列式 100
习题2.4 104
2.5 行列式的等价定义 105
习题2.5 112
2.6 行列式按一行 (列) 展开 113
习题2.6 117
2.7 可逆变换与可逆矩阵 117
习题2.7 122
2.8 初等矩阵与矩阵的逆 123
习题2.8 130
2.9 矩阵的秩 131
习题2.9 137
复习题二 138
第3章 相似矩阵 142
3.1 基变换与相似矩阵 142
习题3.1 148
3.2 特征值与特征向量 149
习题3.2 155
3.3 相似对角化 156
习题3.3 161
3.4 正交矩阵与正交变换 162
习题3.4 165
3.5 实对称矩阵与对称变换 166
习题3.5 172
复习题三 173
第4章 二次型 177
4.1 二次型及其矩阵表示 177
习题4.1 180
4.2 二次型的标准形 181
习题4.2 185
4.3 规范形 186
习题4.3 190
4.4 正定二次型 191
习题4.4 196
4.5 奇异值分解 196
习题4.5 199
复习题四 199
参考文献 203
习题答案 204

第1章 线性方程组
　　线性方程组是线性代数的核心内容之一.线性方程组的解法早在中国古代的数学著作《九章算术》中就有比较完整的叙述，所述方法本质上就是高斯(Gauss)消元法.在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨(Leibniz)开创的，他曾研究含两个未知量的三个方程组成的线性方程组.在18世纪上半叶，麦克劳林(Maclaurin)研究了含二个、三个、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克拉默(Cramer)法则的结果;克拉默不久后也发表了这个法则.18世纪下半叶，法国数学家贝祖(Bézou)对线性方程组理论进行一系列的研究，给出由 n 个方程组成的 n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零.19世纪英国数学家史密斯(Smith)和道奇森(Dodgson)继续研究线性方程组理论，前者引入了增广矩阵等概念，后者证明了线性方程组有解的充要条件(即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩)，该结果连同线性方程组解的结构理论成为现代线性方程组理论的基石，也是贯穿线性代数始终的*基本的方法.
　　1.1 线性方程组的概念与矩阵
　　1949年哈佛大学列昂惕夫教授根据美国劳动统计局提供的约25万条信息，通过他发明的投入–产出模型，简化为包含42个未知数的42个方程的线性方程组，并利用当时*大的计算机 Mark II 运行了56个小时*终得到该线性方程组的解，标志着应用计算机分析大规模数学模型的开始.1973年列昂惕夫获得了诺贝尔经济学奖，打开了研究经济数学模型的新时代的大门.线性方程组历来是代数学的主要研究对象之一，在现代科技的各个领域，如石油勘探、电路设计、医学诊断等都有着广泛的应用.
　　例如，计算机体层成像(computed tomography， CT)已成为现代医学诊断的重要手段之一. CT 成像基本原理是用 X 线束对人体检查部位一定厚度的层面进行扫描，由探测器接收透过该层面的 X 线，转变为可见光后，由光电转换器转变为电信号，再经模拟/数字转换器转为数字信号，输入计算机处理.将选定层面分成若干个体积相同的长方体，称为体素(voxel).扫描所得信息经计算而获得每个体素的 X 线衰减系数或吸收系数，再排列成矩阵，即数字矩阵(按行、列排成的数表)，经数字/模拟转换器把数字矩阵中的每个数字转为由黑到白不等灰度的小方块，即像素(pixel)，并按矩阵排列，便构成 CT 图像，如图1.1.1所示.
　　在一均匀物体中， X 线的衰减服从指数规律，其中 I 是 X 线透过物体后的强度， I0是入射 X 射线的强度，μ是线性吸收系数， L 是物体的宽度，如图1.1.2所示.在 X 线穿透人体器官或组织时，由于人体器官或组织是由多种物质成分和不同的密度构成的，所以各点对 X 线的吸收系数μ是不同的.
　　图1.1.1
　　图1.1.2
　　设沿 X 线束通过的物体分割成的许多小单元体(体素)的厚度(Li)足够小，使得每个体素均匀，每个体素的吸收系数μi 为常值，如果 X 线的入射强度 I0、透射强度 Ii 和体素的厚度 di 均为已知，沿着 X 线通过路径上的吸收系数之和就可计算出来.例如，由图1.1.3可得到
　　从而解得.
　　设一个部位的断层扫描数字矩阵为
　　图1.1.3
　　每一次扫描都可以得到一个方程，即
　　(1.1.1)
　　式中：表示第体素的宽度.为了建立 CT 图像，必须先求出每个体素的吸收系数为求出 mn 个吸收系数，需要建立由式(1.1.1)一样个方程组成的方程组
　　(1.1.2)
　　因此， CT 成像装置要从不同方向进行 s 次扫描，来获取足够的数据建立求解吸收系数的方程，如图1.1.4所示.再将图像上各像素的 CT 值转换为灰度，得到图像的灰度分布，就形成 CT 影像.
　　图1.1.4
　　但求解方程组(1.1.2)则需要线性代数这一强大的数学工具.
　　又例如，为了配平甲烷(CH4)燃烧的化学方程式
　　设从而左边右边由此得到方程组
　　由解析几何可知，形如的方程表示平面上的一条直线，形如的方程表示空间中的一个平面等.一般地，将形如的方程称为线性方程，其中 R 表示实数域.由有限个线性方程组成的方程组称为线性方程
　　组.更具体地，有如下定义.
　　定义1.1.1形如
　　(1.1.3)
　　的方程组，称为线性方程组.式中: x1， x2， ， xn 表示 n 个未知量; m 为方程的个数;称为方程组的系数; bi (i =1，2， ，m)称为常数项.如果常数项不全为零，那么式(1.1.3)称为非齐次线性方程组;否则，式
　　(1.1.3)
　　称为齐次线性方程组.
　　在科学研究或经济领域所用到的线性方程组往往是含有许多个未知量、许多个方程的线性方程组.例如，列昂惕夫的投入–产出模型简化前所使用的线性方程组就是含有500个未知量、500个方程的线性方程组.对于如此复杂的线性方程组，可引入简化的记号.
　　首先固定未知量的顺序不变，将系数 aij 按照在式(1.1.3)中的顺序排为
　　(1.1.4)
　　再将常数项 b1， b2， ， bm 加在式(1.1.4)的*后一列，于是得到
　　(1.1.5)
　　式(1.1.4)和式(1.1.5)称为矩阵，可用来简化线性方程组(1.1.3)的记法.
　　定义1.1.2由 m × n 个数排成 m 行 n 列的矩形阵列
　　称为 m 行 n 列矩阵，简称 m × n 阶矩阵.矩阵一般用大写英文字母 A，B，C， 表示，记为 A =(aij)m×n 或 A =(aij).其中 aij 称为矩阵 A 的第 i 行 j 列的元素，简称第(i， j)元; m× n 称为矩阵 A 的型号.若矩阵 A 的元素全为实数(特别地，复数)，则称 A 为实矩阵(特别地，复矩阵).如无特殊说明，本书中涉及的矩阵均指实矩阵.
　　定义1.1.3称两个矩阵相等，记作 A = B，如果它们的型号相同且对应的元素相等，即 m = s， n = t，且.例如，式(1.1.4)与(1.1.5)中的矩阵称为线性方程组(1.1.3)的系数矩阵与增广矩阵.
　　增广矩阵的记法*早出现在著名的数学著作《九章算术》中，但在该书中，增广矩阵的元素是按列而不是像现在按行排列的.英国数学家史密斯在1861年的文章中引入了增广矩阵和非增广矩阵的概念，但增广矩阵这一术语的实际使用，有文献指出是由美国数学家马克西姆 布舍尔(Maxime B.cher，1867—1918)在1907年出版的 Introduction to Higher Algebra 一书中引入.
　　元素全为零的 m × n 阶矩阵称为零矩阵，记作 Om×n 或简记为 O.设矩阵 A = (aij)m×n，则 A 的负矩阵为m × n 阶实矩阵的全体记作 Rm×n.矩阵的重要性不仅在于它可以简化线性方程组的记法，更在于它可以像数一样进行各种运算.
　　定义1.1.4设 A =(aij)，B =(bij)∈ Rm×n.则矩阵的加法定义为
　　由定义1.1.4可直接验证矩阵的加法满足下列运算律.
　　(1)交换律：;
　　(2)结合律：;
　　(3)零元律：;
　　(4)负元律：.
　　矩阵的减法可定义为.
　　定义1.1.5设 k ∈ R，矩阵的数乘定义为即数 k 乘以矩阵 A，也可理解为 k 乘以 A 的每个元素.
　　由定义1.1.5可直接验证矩阵的数乘满足以下运算律:
　　(1);
　　(2);
　　(3);
　　(4.
　　记 Eij 为第 i 行、第 j 列交叉位置的元素为1，其余元素为0的 m × n 阶矩阵， i =1，2， ， m， j =1，2， ， n，称为基本矩阵.例如，2×2阶基本矩阵为
　　容易验证，任一 m × n 阶矩阵都可以写成
　　定义1.1.6矩阵的转置矩阵定义为
　　例如，1× n 阶矩阵α=(a1， a2， ， an)称为 n 维行向量，它的转置称为 n 维列向量由定义1.1.6可直接验证矩阵转置的性质：
　　(1);
　　(2);
　　(3).
　　注 在同类书中也将矩阵 A 的转置 AT 记为 A′.
　　习题1.1