万有引力书系：穿过一条街道的方法：无穷大简史

要穿过一条街道，必须先穿过街道的二分之一；要穿过街道的二分之一，必须先穿过它的四分之一，要穿过四分之一，必须……

自从芝诺提出二分悖论以来，“如何穿过一条街道”这个简单的问题竟然困扰了人类长达两千多年，薅秃了多少最顶J的头脑，成为最抽象、最晦涩的数学概念。华莱士用自己标志性的奇思妙想、辛辣独特（絮絮叨叨）的文风，以及比正文还长的脚注，展现了这一段在街道中央徘徊的历史。他的文字如同无穷大这一数学概念一样，充满智慧。

【美】大卫?福斯特·华莱士 （David Foster Wallace，1962—2008）

我们这个时代著名的美国作家之一，与《自由》作者乔纳森·弗兰岑并称为“美国文坛双壁”。

大学的毕业论文是他的第一部小说《系统的笤帚》，名作《无尽的玩笑》被著名编辑迈克尔·皮奇惊叹为“我想出版这本书胜过想呼吸”，并被《时代》周刊评选为1923年以来世界百部最佳英语小说之一。其未完成作品《苍白的国王》入围普利策奖最终名单。本人曾获得麦克阿瑟天才奖。

即使在天才遍地的欧美文坛，华莱士也是个极为特殊的存在。他对哲学的痴迷，对繁复长句子的无尽追求，让他的作品从一诞生就划上了“神作”的符号，爱他的读者对他的作品如痴如醉，即使不了解他的读者，也不得不承认他是个不可复制的天才作家。

写在前面

抽象的金字塔

１ “无穷大”的歌手

２ 五个橘子和五

３ 独角兽和排中律

４ 矛盾的无穷大

古希腊和无穷

１ 芝诺的悖论

２ 潜在的无穷

３ 无理的数轴

４ 欧多克索斯的比率

５ 密密麻麻的有理数

无穷大理论的前奏 

１ ５世纪到１７世纪的发展

２ １７世纪的转折

３ 应急词汇表Ｉ

微积分的发现

１ 牛顿和莱布尼茨的微积分

２ 无穷小的幽灵

数学的严格化

１ 应急词汇表ＩＩ

２ 弦的振动

３ 数学神童

４ 证明至上

５ 魏尔斯特拉斯的极限

无理数的定义

１ 无缝的实直线

２ 插曲

３ 分割实直线

４ 无穷集合

５ 半ＩＹＩ的小插曲

６ 构造主义者的反驳

∞ 的理论 

１ 康托尔的第一步

２ 发现超穷数

３ １-１Ｃ

４ 平面等于直线

５ 无穷大的等级

６ 集合的悖论

７ 跳跃的无穷大

致 谢

译后记

参考文献

索 引

5.3数学神童

花絮：把这部分内容提前放在这里是因为再往后放的话，就会浇灭人们对康托尔之前的数学成就疯狂崇拜的热情。

大约在1940年，御用国家社会主义数学史学家“发现”康托尔是一个弃婴，出生时是在一艘正驶往圣彼得堡港的德国船上，父母不详。这完全是在编造故事。德意志帝国显然害怕康托尔可能是犹太人；当时他被认为是有史以来德国最伟大的知识分子。弃婴的故事还时不时在传播——它迎合了我们自己的以及纳粹的某些刻板印象。还有一个流传甚广的故事说康托尔在一家精神病院里推导出了他最著名的关于∞的证明。这也是胡说八道。康托尔第一次住院治疗是在1884年，这时他已经39岁了。他绝大部分重要的工作在那时都已经完成了。第一次治疗后一直到1899年，他才再次住院治疗。在生命里的最后20年，他一直都在进进出出这些地方，直到1918年1月6日，他卒于哈雷精神病疗养院。

康托尔在亨德尔思特塞（Handelstrasse）的老家在二战期间至少被短时占领过。没有证据表明纳粹分子知道那栋房子是他的家。尽管如此，康托尔的主要亲笔文稿显然都丢失或烧毁了。保留下来的大部分在哥廷根的科学院，并且只能隔着玻璃细读。还有一些康托尔的书信集，这些信件是当时有文化的人在正式誊写信件之前写的草稿，再加上一些与他通信的人保留的信。这些就是主要的资料来源。

这里有一段引自美国研究康托尔的资深专家道本（J.W.Dauben）的话：“保留下来的信息如此少以致没法具体评价康托尔的性格。这使得历史学家要么对这个话题无话可说，要么尽其所能地猜测。”许多书中公布的臆测都涉及康托尔的父亲，格奥尔格·W.康托尔。现在关于他的最大的问题是，是否“老格奥尔格·康托尔对他儿子的精神健康有着完全负面的毁灭性影响”另一段来自贝尔（E.T.Bell）的话值得推荐：“假如康托尔受的是一种独立的教育，那么他绝不会胆怯地屈从于令他一生如此悲惨的权威人物。”，或是否“在现实中，老格奥尔格是敏感有天赋的人，是一位深爱他的孩子，希望他们过着幸福、成功和有价值生活的父亲”。无论他是哪一种人，可以确信的是有两位商人对康托尔的生活产生了深远的影响，一位是他的父亲，另一位是克罗内克（Leopold Kronecker）教授。后者的身影在第6章开始赫然耸现。

老格奥尔格夫妇有六个孩子，康托尔是老大。他们整个家族都具有艺术天赋，且造诣很高：几位亲戚是有名的小提琴家和有名气的画家；一位叔曾祖父是维也纳音乐学校的校长，教过演奏家约阿希姆（J.Joachim）；一位叔祖父是托尔斯泰在喀山大学时的法律教授。康托尔出生于1845年3月3日，双鱼座，是位小提琴神童什么的。没有人知道为什么他放弃小提琴，但在大学的一场古典四重奏表演后，就再也没有提到小提琴。他也是一位天生的艺术家，有一幅年幼时非常出色的素描保存下来了；它出名的原因是因为他父亲的一份言不由衷又令人悚然的“声明书”。因为康托尔终身把它带在身边（同样令人悚然），这一声明书保留下来了：

鉴于格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔并没有在临摹和研究前人的绘画作品上花费几年的工夫；鉴于这是他的第一件作品，并且在这件高难度的艺术作品中展示了一种只有在付出超常的刻苦之后才能达到的完美技巧；更有甚者，鉴于目前为止他一直不太看得起这件美丽的艺术作品；全家族——我指的是家庭——因为这第一件精心的作品一致地把希望寄托在他身上。这件作品已经表明他的前途不可限量。

所有的现存资料都认为老格奥尔格以一种有点生硬笨拙的方式监督他孩子的宗教发展。请注意，以今天的眼光来看，我们很容易认为这是一种压抑的或神经质的行为。而实际上，这在当时当地的社会环境下是很正常的。这很难说清楚。事实上，格奥尔格·W.康托尔先生“对（小格奥尔格）的教育特别关心，小心地引导他的个性和智力的发展”。

当小格奥尔格11岁时，康托尔一家从圣彼得堡迁往德国西部。据历史学家说，原因是老格奥尔格“糟糕的健康问题”，这在19世纪50年代意味着肺结核。这就有点像今天从芝加哥搬到斯科茨代尔（Scottsdale，美国亚利桑那州中南部的一个城市）一样。他们大部分时间住在莱茵河畔的法兰克福。康托尔在达姆施塔特（Darmstadt）和威斯巴登（Wiesbaden）的预备学校就读。和绝大多数伟大数学家的故事一样，康托尔的分析学天赋在他十多岁的时候就被发现了；他的数学老师欣喜若狂的信件仍然摆在科学院的玻璃橱里。故事的标准版本是老格奥尔格想让小格奥尔格的天赋用到实际的技艺中，就迫使他学工程。而小格奥尔格铁了心要从事纯粹数学，不得不用威吓和乞求等方式。当老格奥尔格最后让步时，反而给他脆弱的儿子施加了更大的压力，逼迫小格奥尔格不断努力和精进。

这个说法的真实程度，以及父子之间的心灵纽带有多独特，同样也说不清楚。

IYI： 父子之间的另一次信件往来是经常被引用的。这两封信不同寻常，非常重要。原文如下：

老格奥尔格→小格奥尔格：

……我用这些话作为信的结尾：你的父亲，或者更确切地说是你的父母和家族在德国、俄国和丹麦的所有其他成员都把希望寄托在你这个长子的身上，期望你成为不亚于舍费尔（Theodor Schaeffer，小格奥尔格的老师）那样的人物。如果发展顺利的话，以后也许就是科学界的一位耀眼的明星。

小格奥尔格→老格奥尔格：

……现在我很高兴，因为我看到我遵循自己的意愿所做出的决定不再让你感到伤心。亲爱的父亲，我期待有一天你为我而感到骄傲，因为我的灵魂，我的整个生命都投入了我的事业；无论一个人想做和能够做什么，也无论所做的事是否有明确的未来，神秘的声音（？!）在召唤着他，在支撑着他直到成功!

康托尔在苏黎世完成他的毕业论文，然后在柏林大学获得硕士和博士学位。柏林大学当时就是欧洲的麻省理工学院。他在柏林的老师有库默尔（E.E.Kummer）、克罗内克和魏尔斯特拉斯。克罗内克正是康托尔博士论文的指导老师，也是他在系里真正的导师和支持者。但与之相反的结果将出现在第6章。

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