写在前面
1 抽象的金宇塔
1.1 “无穷大”的歌手
1.2 白马非马
1.3 独角兽和排中律
1.4 矛盾的无穷大
2 古希腊和无穷
2.1 芝诺的悖论
2.2 潜在的无穷
2.3 无理的数轴
2.4 欧多克索斯的比率
2.5 密密麻麻的有理数
3 无穷大理论的前奏
3.1 5世纪到17世纪的发展
3.2 17世纪的转折
3.3 应急词汇表
4 微积分的发现
4.1 牛顿和莱布尼茨的微积分
4.2 无穷小的幽灵
5 数学的严格化
5.1 应急词汇表
5.2 弦的振动
5.3 数学神童
5.4 证明至上
5.5 维尔斯特拉斯的极限
6 无理数的定义
6.1 无缝的实直线
6.2 插曲
6.3 分割实直线
6.4 无穷集合
6.5 半IYl的小插曲
6.6 构造主义者的反驳
7 ∞的理论
7.1 康托尔的第一步
7.2 发现超限数
7.3 一一对应
7.4 平面等于直线
7.5 无穷大的等级
7.6 集合的悖论
7.7 跳跃的无穷大
注释
致谢
译后记
1 抽象的金字塔
1.1 “无穷大”的歌手
数学史学家常常有自己独到的见解。下面是一位20世纪30年代的数学史学家所说的一段精彩的开场白：
一个无可避免的结论就是，没有一个关于无穷大的相容的数学理论就不会有无理数的理论；没有无理数的理论就不会有任何形式的数学分析，即使是与我们现在相去甚远的数学分析。最后，没有了数学分析，现在的数学的主要部分，包括几何和绝大部分的应用数学，将不复存在。因而，数学家所面临的最重要的任务似乎是构建一个无穷大的令人满意的理论。康托尔尝试过，不久就会看到他的成功之处。
暂时把恼人的数学术语放在一边。最后一行提到的康托尔是乔治·康托尔（George F.1.P.）教授，出生于1845年，是一位移居德国的富裕商人的儿子。他是公认的抽象集合论和超限数学之父。一些历史学家喋喋不休地争论他是否是犹太人。“康托尔”在拉丁语中只不过是“歌手”的意思。
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