考研数学试题典型错误辨析：数学三

　　本书结合作者数十年的阅卷经验，归纳、分析了在近十多年全国硕士研究生入学统一考试数学试题的解答过程中考生所出现的典型错误，以帮助备考的考生有意识地发现自己在对知识点的理解和考点的表现方式方面所存在的缺陷.此书是针对经济、管理类各专业的考生（选择数学三试卷）而编写的，共安排三个部分：  微积分、线性代数、概率论与数理统计.为了便于考生与自己的解答相对照并且能够达到知其所以然的目的，对于所选择的真题，在给出题目后，首先进行“考点分析”，然后给出详细解答，再通过“方法点击”加以提炼，最后列出“典型错误”并给出出错的原因分析.

　　张天德，1995年破格晋升副教授，2000年晋升教授。现任山东大学数学学院教授、硕士研究生导师，全国硕士研究生入学考试山东阅卷组组长，全国大学生数学竞赛山东赛区负责人，普通高考阅卷组组长，山东数学会高等数学专业委员会理事长，全国微课程比赛山东赛区副主任兼秘书长。在科学出版社、高等教育出版社、山东科学技术出版社、天津科学技术出版社等10几家出版社主编各类大学、高中教材、辅导读物50余种，所编图书长期占据各大书店排行榜。

目录

CONTENTS

第一部分微积分

一、函数极限连续

二、一元函数微分学

三、一元函数积分学

四、多元函数微分学

五、二重积分

六、无穷级数

七、微分方程与差分方程

第二部分线性代数

一、行列式

二、矩阵

三、向量

四、线性方程组

五、矩阵的特征值和特征向量

六、二次型

第三部分概率论与数理统计

一、随机事件和概率

二、随机变量及其分布

三、利用分布求概率及数字特征

四、统计量及抽样分布

五、统计推断

　　三、一元函数积分学

　　（一）

　　内容概括

　　积分学是微积分的主要部分，在高等数学中占有十分重要的地位，而一元函数积分学是积分学的基础.从某种意义上讲不定积分处于辅助位置，不定积分为定积分的计算提供了一种简便快捷的工具.利用定积分可以解决许多实际问题.

　　（二）考试要求

　　一元函数积分学是考研数学复习的重点及难点之一.最新颁布的全国硕士研究生入学考试大纲（数学三）中对一元函数积分学的要求是：

　　1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.

　　2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.

　　3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.

　　4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式.

　　5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.

　　6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等)及函数的平均值.

　　(三)真题解析

　　例1(2011年)求不定积分∫arcsinx+lnxxdx.

　　【考点分析】不定积分的换元法与分部积分法.

　　【解】解法一∫arcsinx+lnxxdx=∫(arcsinx+lnx)d(2x)

　　=2x(arcsinx+lnx)-∫11-x+2xdx

　　=2xarcsinx+2xlnx+21-x-4x+C

　　=2(xarcsinx+xlnx+1-x-2x)+C.

　　解法二∫arcsinx+lnxxdxx=t2∫(arcsint+2lnt)dt

　　=2∫arcsintdt+4∫lntdt

　　=2tarcsint-2∫t1-t2dt+4tlnt-4t

　　=2(tarcsint+1-t2+tlnt2-2t)+C

　　=2(xarcsinx+1-x+xlnx-2x)+C.

　　【方法点击】①不定积分法主要有：直接积分法、第一换元法、第二换元法与分部积分法.读者应熟记各种方法的特点及适用范围.

　　②当被积函数中含有x的无理根式时，则常采用根式变换法；当被积函数中含有对数函数或反三角函数时，则必须用分部积分法.当二者兼而有之时，应先换元，再应用分部积分法.

　　【典型错误】部分考生在解法一中凑微分时丢掉系数，导致结果错误.另有考生不知道用换元法，令x=t.

　　例2(2010年)(Ⅰ)比较∫10|lnt|［ln(1+t)］ndt与∫10tn|lnt|dt(n=1,2,…)的大小，说明理由；

　　(Ⅱ)记un=∫10|lnt|［ln(1+t)］ndt(n=1,2,…),求极限limn→∞un.

　　【考点分析】本题考查定积分的性质及夹逼准则.

　　【解】(Ⅰ)当0≤x≤1时，0≤ln(1+x)≤x,故当0≤t≤1时，［ln(1+t)］n≤tn,所以|lnt|［ln(1+t)］n≤tn|lnt|.从而∫10|lnt|［ln(1+t)］ndt≤∫10tn|lnt|dt.

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知0≤un≤∫10tn|lnt|dt,而

　　∫10|lnt|tndt=-∫10tnlntdt=-1n+1tn+1lnt10+∫101n+1tndt=1(n+1)2.

　　又由于limn→∞1(1+n)2=0,根据夹逼准则知，limn→∞un=0.

　　【方法点击】(1)设f(x),g(x)在［a,b］上可积，则有：

　　①若在［a,b］上恒有f(x)≤g(x),则∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx.

　　②若f(x)在［a,b］上的最大值为M，最小值为m,则m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a).

　　③若f(x)在［a,b］上连续，则至少存在一点ξ∈［a,b］，使得∫baf(x)dx＝f(ξ)(b-a).

　　(2)对于结论：当0≤x≤1时，ln(1+x)≤x，可以如下证明：

　　令f(x)=ln(1+x)-x，则当0≤x≤1时，f′(x)=11+x-1≤0,所以f(x)≤f(0)=0,即ln(1+x)≤x.

　　【典型错误】有的考生不会利用不等式：0≤ln(1+x)≤x,当0≤x≤1时，因此没有得到(Ⅰ)的结果；当然也就求不出极限：limn→∞un的值.

　　例3(2011年)设I＝∫π40lnsinxdx,J=∫π40lncotxdx,K=∫π40lncosxdx,则I，J，K的大小关系是().

　　(A)I<J<K

　　(B)I<K<J

　　(C)J<I<K

　　(D)K<J<I

　　【考点分析】本题考查定积分的性质.

　　图16

　　【解】如图16所示，

　　当0<x<π4时，sinx<cosx<1<cotx，于是lnsinx<lncosx<lncotx.由定积分性质得

　　∫π40lnsinxdx<∫π40lncosxdx<∫π40lncotxdx，

　　即I<K<J.

　　故应选(B).

　　【方法点击】比较定积分的大小常用下列结论：

　　设f(x),g(x)在［a,b］上可积，则有

　　①若在［a,b］上恒有f(x)≤g(x),则∫baf(x)dx≤∫bag(x)dx.

　　②若f(x)在［a,b］上的最大值为M，最小值为m，则m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a).

　　【典型错误】有的考生选(A)，究其原因是没有分清在0<x<π4时，函数sinx，cosx，cotx之间的大小关系.

　　例4(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫x+y0e-t2dt=∫x0xsint2dt确定，则dydxx=0=.

　　【考点分析】变上限积分的导数与隐函数的导数.

　　【解】由方程∫x+y0e-t2dt=x∫x0sint2dt，令x=0,得y=0.

　　等式两端对x求导，得

　　e-(x+y)21+dydx=∫x0sint2dt+xsinx2,

　　将x=0,y=0代入上式，得1+dydxx=0=0，所以dydxx=0=-1.

　　【方法点击】(1)设y=∫φ2(x)φ1(x)f(t)dt，则y′=f［φ2(x)］φ′2(x)-f［φ1(x)］φ′1(x).

　　(2)给定隐函数方程F(x,y)=0,求dydx的常用方法有：

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开　　本：16开

正文语种：中文