数学分析简明教程/首都师范大学数学教学系列丛书

第一章“实数的十进表示及运算”严格讲述初级 中学数学课本叙述的有理数、无理数和实数的概念。
　　严格讲述数列极限的概念。使用实数的十进表示，借 助极限概念，用“算数的方式”处理正数的“幂运算 ”。讲清楚高级中学课本中所说的指数函数。
　　第二章“函数”是中学数学对于函数概念的讨论 的深化。严格介绍和讨论函数的连续性等概念，顺带 给出了指数函数的解析方式的定义。同时介绍Rn的基 本拓扑概念。
　　第三章“微分学”从“Rm到Rn的映射”出发，严 格讲述导数概念。 第四章“积分学”系统讲解Lebesgue积分理论。
　　包括测度、可测函数、积分的定义和基本理论。其中 包括Rn上积分的变量替换法，并介绍线段上几乎连续 函数的积分的Riemann算法(经典的Riemann积分)、微 积分基本定理及以其为基础的积分算法。
　　第五章、第六章、第七章，这三章讲述积分学的 应用。
　　第五章讲两方面的问趱。一方面是如何计算Rn中 常见几何体的体积。另一方面的内容是一些常见的积 分以及积分的极限的计算，兼论及可积函数用光滑函 数近似的问题。
　　第六章讲述Rn中的k(1≤k 第七章讲述Rn中的一维流形(曲线)上的第二型积 分以及R3中的二维流形(曲面)上的第二型积分。作为 应用，给出了二维和三维情形的Brouwer不动点定理 的证明。
　　第八章“函数的级数展开”一方面讨论光滑函数 的Taylor级数，另一方面对于可积函数(当然是 Lebesgue可积函数)的Fourier展开做一个基本的介绍 。
　　可作为大学数学系一、二年级本科生教材。

第一章  实数的十进表示及运算
l  比例数列的极限
1.1  比例数的本原表示
1.2  比例数列以及比例数列的极限
习题1.1
2  实数的十进表示的定义，比例数的十进表示
习题1.2.
3  R中的算术运算及大小次序
习题1.3.
4  正数的开方运算以及幂运算
4.1  开方运算
4.2  幂运算
4.3  幂函数和指数函数
习题1.4
5  实数列与实数集的一些性质，一些练习
习题1.5
6  非比例数比比例数多得多，基数的概念
习题1.6
第二章  函数
l  一元函数
习题2.1
2  再谈指数函数
习题2.2
3  n维Euclid空间Rn
3.1  Euclid空间
3.2  紧致性的概念
3.3  Rn中的开集的结构
习题2.3
4  多元函数
习题2.4
第三章  微分学
1 导数
1.1  方向导数、导数
1.2  一元情形
1.3  可导的充分条件及求导算律
1.4  高阶偏导数
1.5  导数的几何意义一一切线和切平面
习题3.1
2  Taylor公式和Taylor展开式
2.1.Taylor公式
2.2  一元初等函数的Taylor展开
2.3  函数的局部极值
习题3.2
3  可微变换
3.1  基本概念
习题3.3.1
3.2  可微变换的复合
习题3.3.2
3.3  逆变换
习题3.3.3
4  隐变换
4.1  特殊情形
4.2  一般情形
习题3.4
5  条件极值
习题3.5
6  几何应用
6.1  曲线
6.2  曲面
习颍3 6
7  原函数
习题3.7
第四章  积分学
l  测度
1.1  外测度
1.2  测度
1.3  Borel集是可测集
1.4  通过开集刻画可测集
1.5  不可测集
习题4.1
2  可测函数
2.1  基本概念
2.2  可测函数的结构
2.3  连续函数的延拓
习题4.2
3  积分的定义及基本理论
3.1  积分的定义及基本性质
3.2  积分号下取极限
3.3  把多重积分化为累次积分
3.4  积分的变量替换
习题4.3
4  几乎连续函数及其积分
习题4.4
5  微积分基本定理
5.1  基本定理
5.2  换元积分法
5.3  分部积分法
习题4.5
第五章  积分学的应用(一)
l  常见几何体的测度
习题5.1
2  用积分解决几何的和物理的问题的例子
2.1一个体积公式
2.2  另一个体积公式
2.3  力做的功
2.4  功和能的联系
2.5  液体在竖直面上的压力、
习题5.2
3  积分号下取极限的定理应用于参变积分
3.1  参变积分的一般性质
3.2  具体的例
3.3  广义参变积分的积分号下取极限
3.4  几个判断广义参变积分一致收敛的例子
习题5.3
4  一类重要的参变积分一一Euler积分
习题5.4
5 可积函数用紧支撑光滑函数近似
习题5.5
第六章  积分学的应用(二)一一曲线和曲面上的第一型积分
1  Rn的子空间中的测度
1.1  Rn中平行2n面体的测度
1.2  Rn的七(k    6.2  Gauss公式是Green公式的推广。
6.3  Gauss积分
6.4  立体角及相关的积分
6.5  又一个Green公式
6.6  向量场的散度
习题7.6
7 Stokes公式  旋度
7.1  R3中的Stokes公式
7.2  旋度
习题7.7
第八章  函数的级数展开
l  收敛判别法
习题8.1
2  一致收敛
习题8.2
3  求和号下取极限
习题8.3
4  幂级数与Taylor展开
4.1  一般性讨论
习题8.4.1
4.2  函数的Taylor展开
习题8.4.2
5  三角级数与Fourier展开
5.1  三角级数
5.2  Fourier级数
5.3  Fourier部分和
5.4  局部化原理
5.5  一致收敛问题
5.6  Fejier和
5.7  涉及Fourier系数的定理
习题8.5
6  (选读)用代数多项式一致逼近连续函数
习题8.6
索引