陶哲轩实分析

《陶哲轩实分析》强调严格性和基础性，《陶哲轩实分析》中的材料从源头——数系的结构及集合论开始，然后引向分析的基础(极限、级数、连续、微分、Riemann积分等)，再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析，最后到达Lebesgue积分，这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的。书中还包括关于数理逻辑和十进制系统的两个附录。
本书强调严格性和基础性, 书中的材料从源头——数系的结构及集合论开始, 然后引向分析的基础(极限、级数、连续、微分、Riemann积分等), 再进入幂级数、多元微分学以及Fourier分析, 最后到达Lebesgue积分, 这些材料几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景的。书中还包括关于数理逻辑和十进制系统的两个附录．课程的材料与习题紧密结合, 的是使学生能动地学习课程的材料, 并且进行严格的思考和严密的书面表达的实践。
　　本书适合已学过微积分的高年级本科生和研究生学习。

陶哲轩(Terence Tao)2006年菲尔兹奖得主，享誉世界的澳大利亚籍华裔天才青年数学家，现任美国加州大学洛杉矶分校教授。在调和分析、偏微分方程、组合数学、解析数论和表示论等多个领域取得了许多重要成果。他的经历可谓传奇，12岁获得国际数学奥林匹克竞赛金牌(这项纪录至今无人打破)，21岁获得普林斯顿大学博士学位，24岁成为终身教授，2007年32岁时当选英国皇家学会会士。除菲尔兹奖外，他还荣获了著名的Alan t Watel man奖(奖金额50万美元)和clay研究奖等众多荣誉。
王昆扬 1943年生于广西河池金城江，北京师范大学教授、博士生导师，1985年获理学博士学位，导师孙永生教授，1991年任教授，1993年获博士生导师资格，
主要社会兼职有：政协北京市第九届委员、第十届委员(1998-2002，2003-2007)；教育部高校数学与统计学教指委数学分委委员(1996-2000，2001-2005)；中国数学会教育工作委员会主任(2()00-2003)；《数学进展》常务编辑委员(2000-2004-2009)；《数学研究与评论》编辑委员(2()06一)；Analysis in Theory and Ap-plications编辑委员(2006一)；德国Zbl Math评论员；美国Math Review评论员，
至今为止，发表学术论文65篇，教学改革论文12篇；出版学术专著2部，教科书4部，译著4部．主持并完成教育部师范司教改重点项目．JS032A(1998-2000)，两度主持国家理科基地创建名牌课程项目，四度主持国家自然科学基金自由申请项目(1992-2003)，两度主持中俄国际学术合作项目，并且主持“数学分析”国家级精品课程(2005一)，
多次获得各项荣誉和奖励，如1989年国家教委科技进步一等奖和国家自然科学四等奖(合作)，1990年全国优秀科技图书二等奖，1997年宝钢优秀教师奖，2001年度宝钢优秀教师特等奖，全国模范教师称号(200111004号)，2002年全国普通高等学校优秀教材二等奖，先进工作者称号(教育部、国家自然科学基金委2002年)，2003年北京市名师奖，

第一部分
第1章引论
1.1什么是分析学
1.2为什么要做分析

第2章从头开始：自然数
2.1Peano公理
2.2加法
2.3乘法

第3章集合论
3.1基本事项
3.2Russell悖论（选读）
3.3函数
3.4象和逆象
3.5笛卡儿乘积
3.6集合的基数

第4章整数和比例数
4.1整数
4.2比例数
4.3绝对值与指数运算
4.4比例数中的空隙

第5章实数
5.1Cauchy序列
5.2等价的Cauchy序列
5.3实数的构造
5.4给实数编序
5.5最小上界性质
5.6实数的指数运算,第Ⅰ部分

第6章序列的极限
6.1收敛及极限的算律
6.2广义实数系
6.3序列的上确界和下确界
6.4上极限、下极限和极限点
6.5某些基本的极限
6.6子序列
6.7实的指数运算,第Ⅱ部分

第7章级数
7.1有限级数
7.2无限级数
7.3非负实数的和
7.4级数的重排
7.5方根判别法与比例判别法

第8章无限集合
8.1可数性
8.2在无限集合上求和
8.3不可数的集合
8.4选择公理
8.5序集

第9章R上的连续函数
9.1实直线的子集合
9.2实值函数的代数
9.3函数的极限值
9.4连续函数
9.5左极限和右极限
9.6最大值原理
9.7中值定理
9.8单调函数
9.9一致连续性
9.10在无限处的极限

第10章函数的微分
10.1基本定义
10.2局部最大、局部最小以及导数
10.3单调函数及其导数
10.4反函数及其导数
10.5L'Hopital法则

第11章Riemann积分
11.1分法
11.2逐段常值函数
11.3上Riemann积分与下Riemann积分..
11.4Riemann积分的基本性质
1.5连续函数的Riemann可积性
11.6单调函数的Riemann可积性
11.7一个非Riemann可积的函数
11.8Riemann-Stieltjes积分
11.9微积分的两个基本定理
11.10基本定理的推论
第二部分

第12章度量空间
12.1定义和例
12.2度量空间的一些点集拓扑知识
12.3相对拓扑
12.4Cauchy序列及完备度量空间
12.5紧致度量空间

第13章度量空间上的连续函数
13.1连续函数
13.2连续性与乘积空间
13.3连续性与紧致性
13.4连续性与连通性
13.5拓扑空间（选读）

第14章一致收敛
14.1函数的极限值
14.2逐点收敛与一致收敛
14.3一致收敛性与连续性
14.4一致收敛的度量
14.5函数级数和WeierstrassM判别法
14.6一致收敛与积分
14.7一致收敛和导数
14.8用多项式一致逼近

第15章幂级数
15.1形式幂级数
15.2实解析函数
15.3Abel定理
15.4幂极数的相乘
15.5指数函数和对数函数
15.6谈谈复数
15.7三角函数

第16章Fourier级数
16.1周期函数
16.2周期函数的内积
16.3三角多项式
16.4周期卷积
16.5Fourier定理和Plancherel定理

第17章多元微分学
17.1线性变换
17.2多元微分学中的导数
17.3偏导数和方向导数
17.4多元微分链法则
17.5二重导数与Clairaut定理
17.6压缩映射定理
17.7多元反函数定理
17.8隐函数定理

第18章Lebesgue测度
18.1目标：Lebesgue测度
18.2第一步：外测度
18.3外测度不是加性的
18.4可测集
18.5可测函数

第19章Lebesgue积分
19.1简单函数
19.2非负可测函数的积分
19.3绝对可积函数的积分
19.4与Riemann积分比较
19.5Fubini定理
附录A数理逻辑基础
附录B十进制
索引

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