复分析（原书第3版）——华章数学译丛

本书从现代数学的观点介绍复分析的基本知识与常用工具，全书共分为8章，主要包括：复数、复函数、作为映射的解析函数、复积分、级数与乘积展开、共形映射，软件克雷问题、椭圆函数以及全局解析函数，此外，大部分章节后都有练习，便于学生掌握书中内容。 本书取材合理、言简意赅、由浅入深、逻辑严谨、论述清晰，可作为高等院校高年级本科生以及研究生的教材和参考书。

Lars V．Ahlfors生前是哈佛大学数学教授。他于1924年进入赫尔辛基大学学习，并在1930年于芬兰著名的土尔库大学获得博士学位。期问他还师从著名数学家Nevanlirlna共同进行研究工作。1936年荣获菲尔茨奖。第二次世界大战结束后，辗转到哈佛大学从事教学工作。1953年当选为美国国家科学院院士。他又于1968年和1981年分别荣获Vihuri奖和沃尔夫奖。他的著述很多，除本书外，还著有《Riemann Surfaces》和《Conformal Invariants》等。

第1章 复数
1.1 复数代数
1.1.1 算术运算
1.1.2 平方根
1.1.3 合理性
1.1.4 共轭，绝对值
1.1.5 不等式
1.2 复数的几何表示
1.2.1 几何加法和几何乘法
1.2.2 二项方程
1.2.3 解析几何
1.2.4 球面表示
第2章 复函数
2.1 解析函数的概念介绍
2.1.1 极限与连续性
2.1.2 解析函数
2.1.3 多项式
2.1.4 有理函数
2.2 幂级数的基础理论
2.2.1 序列
2.2.2 级数
2.2.3 一致收敛性
2.2.4 幂级数
2.2.5 阿贝尔极限定理
2.3 指数函数和三角函数
2.3.1 指数函数
2.3.2 三角函数
2.3.3 周期性
2.3.4 对数函数
第3章 作为映射的解析函数
3.1 初等点集拓扑
3.1.1 集和元素
3.1.2 度量空间
3.1.3 连通性
3.1.4 紧致性
3.1.5 连续函数
3.1.6 拓扑空间
3.2 共形性
3.2.1 弧与闭曲线
3.2.2 域内的解析函数
3.2.3 共形映射
3.2.4 长度和面积
3.3 线性变换
3.3.1 线性群
3.3.2 交比
3.3.3 对称性
3.3.4 有向圆
3.3.5 圆族
3.4 初等共形映射
3.4.1 阶层曲线的应用
3.4.2 初等映射概述
3.4.3 初等黎曼面
第4章 复积分
4.1 基本定理
4.1.1 线积分
4.1.2 可求长的弧
4.1.3 线积分作为弧的函数
4.1.4 矩形的柯西定理
4.1.5 圆盘中的柯西定理
4.2 柯西积分公式
4.2.1 一点关于闭曲线的指数
4.2.2 积分公式
4.2.3 高阶导数
4.3 解析函数的局部性质
4.3.1 可去奇点，泰勒定理
4.3.2 零点和极点
4.3.3 局部映射
4.3.4 最大值原理
4.4 柯西定理的一般形式
4.4.1 链和闭链
4.4.2 单连通性
4.4.3 同调
4.4.4 柯西定理的一般叙述
4.4.5 柯西定理的证明
4.4.6 局部恰当微分
4.4.7 多连通域
4.5 留数计算
4.5.1 留数定理
4.5.2 幅角原理
4.5.3 定积分的计算
4.6 调和函数
4.6.1 定义和基本性质
4.6.2 均值性质
4.6.3 泊松公式
4.6.4 施瓦茨定理
4.6.5 反射原理
第5章 级数与乘积展开
5.1 幂级数展开式
5.1.1 魏尔斯特拉斯定理
5.1.2 泰勒级数
5.1.3 洛朗级数
5.2 部分分式与因子分解
5.2.1 部分分式
5.2.2 无穷乘积
5.2.3 典范乘积
5.2.4 Γ函数
5.2.5 斯特林公式
5.3 整函数
5.3.1 詹森公式
5.3.2 阿达马定理
5.4 黎曼ζ函数
5.4.1 乘积展开
5.4.2 ζ(s)扩张到整个平面
5.4.3 函数方程
5.4.4 ζ函数的零点
5.5 正规族
5.5.1 等度连续性
5.5.2 正规性和紧致性
5.5.3 阿尔泽拉定理
5.5.4 解析函数族
5.5.5 经典定义
第6章 共形映射.狄利克雷问题
6.1 黎曼映射定理
6.1.1 叙述和证明
6.1.2 边界表现
6.1.3 反射原理的应用
6.1.4 解析弧
6.2 多边形的共形映射
6.2.1 在角上的表现
6.2.2 施瓦茨克里斯托费尔公式
6.2.3 映成矩形的映射
6.2.4 施瓦茨的三角形函数
6.3 调和函数的进一步讨论
6.3.1 具有均值性质的函数
6.3.2 哈纳克原理
6.4 狄利克雷问题
6.4.1 下调和函数
6.4.2 狄利克雷问题的解
6.5 多连通域的典范映射
6.5.1 调和测度
6.5.2 格林函数
6.5.3 具有平行缝的域
第7章 椭圆函数
7.1 单周期函数
7.1.1 用指数函数表示
7.1.2 傅里叶展开
7.1.3 有穷阶函数
7.2 双周期函数
7.2.1 周期模
7.2.2 幺模变换
7.2.3 典范基
7.2.4 椭圆函数的一般性质
7.3 魏尔斯特拉斯理论
7.3.1 魏尔斯特拉斯P函数
7.3.2 函数ζ(z)与σ(z)
7.3.3 微分方程
7.3.4 模函数λ(τ)
7.3.5 λ(τ)所做的共形映射
第8章 全局解析函数
8.1 解析延拓
8.1.1 魏尔斯特拉斯理论
8.1.2 芽与层
8.1.3 截口与黎曼面
8.1.4 沿弧的解析延拓
8.1.5 同伦曲线
8.1.6 单值性定理
8.1.7 支点
8.2 代数函数
8.2.1 两个多项式的结式
8.2.2 代数函数的定义与性质
8.2.3 临界点上的表现
8.3 皮卡定理
8.4 线性微分方程
8.4.1 寻常点
8.4.2 正则奇点
8.4.3 无穷远点附近的解
8.4.4 超几何微分方程
8.4.5 黎曼的观点
索引

前言
　　作为单复变量的标准基础教材，《复分析》成功地保持了它的地位。然而，仍然需要一个新的版本，一方面是因为当前的数学术语有些变化，另一方面是因为学生的基础和目标也有所不同。
　　新的版本中没有根本性的创新。作者仍然坚信几何方法的基础作用，因此在介绍性的章节里没有本质上的变化。经验表明，整本书中有少数几处可能会产生误解和困难，需要予以阐明。已经发现的印刷错误和小错误都已经改正。另外，第2版和第3版的主要区别概括如下： 1.数学符号和术语已经采用现代标准，但是没有必要对文体作大的改变。 2.在第2章中，增加了很短的一节，讨论共形映射下长度和面积的变化。这在某种程度上破坏了本书能自含解释的特点，因为需要读者回顾微积分，学习重积分的定义和处理。这个缺点较小。 3.在第4章中，柯西定理的一般形式有了一个新的更简单的证明。这是A F Beardon给出的证明，他慷慨地允许我在这里引用。这个证明补充了老的证明，但不能取而代之，因此老的证明仍然保留并作了改进。 4.增加了很短的一节，讨论黎曼ζ函数。这常使学生着迷，并且函数方程的证明说明，留数在比定积分计算更为复杂的情形下应用。 5.第8章中的大部分已全部重写。主要目的是在强调经典概念的同时，介绍给读者芽和层的术语。不过，所涉及的层理论的基本概念不会超出与本书初级性质相一致的范围。 6.作者经受住把黎曼面作为一维复流形加进书中的诱惑。本书旨在介绍平面上复函数论的基本方法和结果，如果超出该目的，那么将大大失去其有用性。
　　很多人指出了第2版中的一些印刷错误、缺点和错误，在此对他们的帮助表示感谢。特别感谢我的同事Lynn Loomis，他使我了解到学生在以此书为教材的近期课程中的反映。