常微分方程及其应用(第二版)

第二版前言
第一版前言
第1章 引论
1.1 微分方程的概念和实例
1.1.1 导出微分方程的一些实际例子
1.1.2 微分方程的概念
1.1.3 微分方程的发展
习题1.1
1.2 解的存在唯一性
1.2.1 例子和思路
1.2.2 存在唯一性定理及其证明
1.2.3 存在唯一性定理的说明及例子
习题1.2
1.3 一阶微分方程的向量场
1.3.1 向量场
1.3.2 积分曲线的图解法
习题1.3
复习题1

第2章 一阶微分方程
2.1 线性方程
2.1.1 线性齐次方程
2.1.2 线性非齐次方程
2.1.3 Bemoulli方程
2.1.4 线性微分方程的应用举例
习题2.1
2.2 变量可分离的方程
2.2.1 变量可分离方程的求解
2.2.2 齐次方程
2.2.3 变量可分离方程的应用
习题2.2
2.3 全微分方程
2.3.1 全微分方程的定义与充要条件
2.3.2 全微分方程的积分
2.3.3 积分因子
习题2.3
2.4 变量替换法
2.4.1 形如dy/dx=f（ax+by+c）的方程
2.4.2 形如yf（xy）dx+xg（xy）dy=0的方程
2.4.3 其他变换举例
2.4.4 Riccati方程
习题2.4
2.5 一阶隐式微分方程
2.5.1 可解出y或x的方程与微分法
2.5.2 不显含x或y的方程与参数法
2.5.3 奇解与包络
习题2.5
2.6 近似解法
2.6.1 逐次迭代法
2.6.2 Taylor级数法
2.6.3 Euler折线法
习题2.6
2.7 一阶微分方程的应用
2.7.1 曲线族的等角轨线
2.7.2 放射性废物的处理问题
2.7.3 我国人口的发展预测
习题2.7
复习题2

第3章 二阶及高阶微分方程
3.1 可降阶的高阶方程
3.1.1 不显含未知函数z的方程
3.1.2 不显含自变量￡的方程
3.1.3 全微分方程和积分因子
3.1.4 可降阶的高阶方程的应用举例
习题3.1
3.2 线性微分方程的基本理论
3.2.1 线性微分方程的有关概念
3.2.2 齐次线性方程解的性质和结构
3.2.3 非齐次线性方程解的结构
习题3.2
3.3 线性齐次常系数方程
3.3.1 复值函数
3.3.2 常系数齐次线性方程
3.3.3 某些变系数线性齐次微分方程的解法
习题3.3
3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法
3.4.1 非齐次项为多项式的情形
3.4.2 非齐次项为多项式与指数函数之积的情形
3.4.3 非齐次项为多项式与指数函数、正余弦函数之积的情形
习题3.4
3.5 高阶微分方程的应用
3.5.1 机械振动
3.5.2 RLC电路
习题3.5
复习题3

第4章 微分方程组
4.1 微分方程组的概念
4.1.1 微分方程组的实例及有关概念
4.1.2 函数向量和函数矩阵
4.1.3 微分方程组解的存在唯一性定理
习题4.1
4.2 微分方程组的消元法和首次积分法
4.2.1 微分方程组的消元法
4.2.2 微分算子与线性微分方程组
4.2.3 微分方程组的首次积分法
习题4.2
4.3 线性微分方程组的基本理论
4.3.1 线性齐次方程组解的结构
4.3.2 非齐次线性微分方程组解的结构
习题4.3
4.4 常系数齐次线性微分方程组
4.4.1 系数矩阵A有单特征根时的解
4.4.2 系数矩阵A具有重特征根时的解
4.4.3 矩阵指数函数的定义和性质
习题4.4
4.5 常系数非齐次线性微分方程组
4.5.1 常数变易法
4.5.2 线性变换法
4.5.3 待定系数法
习题4.5
4.6 微分方程组应用举例
4.6.1 两个弹簧和物体的竖直运动
4.6.2 复杂电路的计算
4.6.3 人造卫星的轨道方程
习题4.6
复习题4

第5章 非线性微分方程组
5.1 非线性方程研究的例子与概念
5.1.1 例子
5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、动力系统
5.1.3 基本定义
习题5.1
5.2 自治微分方程组解的性质
5.2.1 自治系统轨线的特点
5.2.2 自治系统解的基本性质
习题5.2
5.3 平面线性系统的奇点及相图
……
第6章 Maple简介与应用
参考文献

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第1章 引论
常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用。本章介绍常微分方程的一般概念、导出微分方程的一些典型例子、常微分方程解的存在唯一性、向量场等内容，为求解微分方程和进行理论分析做准备。
1.1 微分方程的概念和实例
弄清一个问题中变量之间的函数关系或其变化趋势对问题的解决往往有着至关重要的作用，但在一些较复杂的变化过程中，变量之间的函数关系无法直接得到。这时就需要在一些理论或经验的基础上找到问题中的一些变量及其导数之间的关系，也就是先找出一个含有未知函数及其导数所满足的方程（称为微分方程），然后通过求解这个方程得到变量间的函数关系，或者在微分方程的基础上进行数值计算和渐近性态研究，从而了解一个系统的发展变化规律。本节先给出一些导出微分方程的例子，再给出微分方程中所涉及的一些定义。
1.1.1 导出微分方程的一些实际例子
为了定量地研究一些实际问题的变化规律，往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设，建立起数学模型，当问题中涉及变量的变化率时，该模型就是一个微分方程。下面通过几个典型的例子来说明建立微分方程模型的过程。
例1.1.1镭的衰变规律设镭的衰变速率与该时刻现有的量成正比，并且已知t=0时，镭元素的量为R0g，试确定在任意时刻t镭元素的量。